已知 lg(3x)+lg(y)=lg(x+y+1) 求xy 的最小值与 x+y 的最大值

已知 lg(3x)+lg(y)=lg(x+y+1) 求xy 的最小值与 x+y 的最大值
已知 lg(3x)+lg(y)=lg(x+y+1) 求xy 的最小值与 x+y 的最大值

已知 lg(3x)+lg(y)=lg(x+y+1) 求xy 的最小值与 x+y 的最大值
因为 lg(x+y+1) =lg(3x) +lg(y)
=lg (3xy),
(x,y >0),
所以 x+y+1 =3xy.①
(x,y >0).
(1) 令 u=√xy,
由 ① 得
x+y =3xy -1
=3u^2 -1.
由基本不等式,
x+y ≥ 2√xy,
所以 3u^2 -1 ≥2u.
解得 u ≤ -1/3 或 u≥1.
又因为 u≥0,
所以 √xy ≥1,
即 xy ≥1.
即 xy 的最小值为1.
(2) 令 v=x+y,
由 ① 得
xy =(x+y+1)/3
=(v+1)/3.
由基本不等式
xy ≤[ (x+y)/2 ]^2,
即 (v+1) /3 ≤(v/2)^2,
即 3v^2 -4v -4 ≥0.
解得 v ≤ -2/3 或 v≥ 2.
又因为 v>0,
所以 x+y ≥ 2.
所以 x+y 的最小值为2.
= = = = = = = = =
换元法.
基本不等式.
一元二次不等式.
详细的,看书.

1、可知道x>0,y>0,且有不等式 x+y>=2*sqrt(xy)。
2、根据等式可知3xy=x+y+1。
3、根据等式将不等式里面的x+y 或者 xy 替换掉，解一个一元二次不等式即可得到结果。