在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD是菱形,角ABC=60度,PA垂直平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点且PA=PB=2(1)BC垂直平面AMN（2）求二面角B-PC-D余弦值（3）在线段PD上是否存在一点E,使得NM平行平面ACE,若存在,求出P

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 15:51:42

在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD是菱形,角ABC=60度,PA垂直平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点且PA=PB=2(1)BC垂直平面AMN（2）求二面角B-PC-D余弦值（3）在线段PD上是否存在一点E,使得NM平行平面ACE,若存在,求出P
在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD是菱形,角ABC=60度,PA垂直平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点
且PA=PB=2
(1)BC垂直平面AMN（2）求二面角B-PC-D余弦值（3）在线段PD上是否存在一点E,使得NM平行平面ACE,若存在,求出PE长,若不存在,请说明理由

在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD是菱形,角ABC=60度,PA垂直平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点且PA=PB=2(1)BC垂直平面AMN（2）求二面角B-PC-D余弦值（3）在线段PD上是否存在一点E,使得NM平行平面ACE,若存在,求出P
（1）连AM,底面ABCD是菱形,角ABC=60度,M是BC的中点,
∴AM⊥BC,
PA垂直平面ABCD,
∴PA⊥BC,
∴BC垂直平面PAM(即平面AMN）.
（2）PA=PB=2=AC,
∴PB=PC=PD=2√2,BD=2√3,
∴△PBC≌△PDC(SSS),
作BE⊥AC于F,连DF,则DF⊥AC,DF=BF,
∴∠BFD是二面角B-PC-D的平面角.
易知AM=√3,PM=√7,PM⊥BC,
∴PM*BC=BF*AC,
∴BE=PM*BC/AC=√（7/2）,
∴cosBFD=(2BF^-BD^)/(2BF^)=1-12/7=-5/7,为所求.
（3）取PD中点E,连NE,N是PA的中点,
∴NE∥=（1/2）AD∥=MC,
∴四边形MCEN是平行四边形,
∴MN∥CE,
∴MN∥平面ACE.
PE=PD/2=√2.