1、O是三角形ABC的外心,AB=2,AC=1,角BAC=120度,若向量AO=m向量AB+n向量AC,则m+n=?2、函数f（x）是定义实数上不恒为0的偶函数,且xf（x+1）=（1+x）f（x）,求f（1/2）f（2009/2)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 13:59:53

1、O是三角形ABC的外心,AB=2,AC=1,角BAC=120度,若向量AO=m*向量AB+n*向量AC,则m+n=?2、函数f（x）是定义实数上不恒为0的偶函数,且xf（x+1）=（1+x）f（x）,求f（1/2）f（2009/2)
1、O是三角形ABC的外心,AB=2,AC=1,角BAC=120度,若向量AO=m*向量AB+n*向量AC,则m+n=?
2、函数f（x）是定义实数上不恒为0的偶函数,且xf（x+1）=（1+x）f（x）,求f（1/2）f（2009/2)

1、O是三角形ABC的外心,AB=2,AC=1,角BAC=120度,若向量AO=m*向量AB+n*向量AC,则m+n=?2、函数f（x）是定义实数上不恒为0的偶函数,且xf（x+1）=（1+x）f（x）,求f（1/2）f（2009/2)
1、
方法一：
设|AB|=c,|AC|=b,|BC|=a
根据余弦定理,有a^2=b^2+c^2-2bcCosA,由此求出a
根据外接圆的性质,有2r=a/SinA,由此求出r,即|AO|
连接CO,得等腰三角形OAC
|AO|=|CO|=r,|AC|=b=1
由三条边的长度,根据余弦定理,求出Cos角OAC,进一步得Sin角OAC
作辅助线,过点O作OD//BA交AC所在的直线于D点
向量AO=向量AD+向量DO
=n*向量AC+m向量AB
|AD|=n,|DO|=2m
因为,角AOD的大小=角OAB的大小=120度-角OAC的大小
故,可以求出Sin角AOD
Sin角AOD:|AD|=Sin角OAC:|DO|=Sin角ADO:|AO|
角ADO=60度
由此求出m、n的值
方法二：
建立平面坐标系
令三角形一边在坐标轴上,已知角的顶点与原点重合,这样容易写出各点坐标,向量坐标,用向量坐标运算.
2、
令x=-1/2,代入xf（x+1）=（1+x）f（x）
有-1/2f(1/2)=1/2f(-1/2)
由偶函数性质有f(-1/2)=f(1/2),代入上式,得f(1/2)=0
f(2009/2)=f(1004+1/2)
因为xf(x+1)=(1+x)f(x)
f(x+1)=[(1+x)/x]f(x)
所以f(1/2+1)=f(3/2)=[(3/2)/(1/2)]f(1/2)=0
f(1/2+2)=f(3/2+1)=[(5/2)/(3/2)]f(3/2)=0
…………
依此类推f(1/2+1004)=0
故f(2009/2)=0