已知f(x)=-x²+ax+1-lnx 若f(x)在(0,1/2)上是减函数,求实数a的范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 03:05:37
已知f(x)=-x²+ax+1-lnx 若f(x)在(0,1/2)上是减函数,求实数a的范围

已知f(x)=-x²+ax+1-lnx 若f(x)在(0,1/2)上是减函数,求实数a的范围
已知f(x)=-x²+ax+1-lnx 若f(x)在(0,1/2)上是减函数,求实数a的范围

已知f(x)=-x²+ax+1-lnx 若f(x)在(0,1/2)上是减函数,求实数a的范围
对称轴=-2a/b=a/2
因为他在0到1/2上是减函数 而且开口朝下
所以你可以画出图来
如果对称轴正好等于0 那么符合题意
如果对称轴大于0 那么在0到1/2就有可能有增有减 甚至都是増的
如果对称轴小于0 就可以保证在0到1/2一定是减函数
所以综上所述
对称轴

因为-lnx在(0,1/2)上递减,所以只要-x²+ax递减就好了,其对称轴为a/2,只要a/2<=0即可,即a<=0

先对f(x)求导得:f'(x)=-2x+a-1/x,根据条件,在(0,1/2)上恒有f'(x)<0,即:-2x+a-1/x < 0恒成立,分离a和x得:a < 2x+1/x (此函数必须要熟悉,有人称其为对勾函数),在区间(0,1/2)上恒有2x+1/x > 3,所以只要a <= 3就能够保证(0,1/2)上恒有f'(x)<0。即:a <= 3

a<3,详细过程见图。

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