作业帮已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)·(b-c)=0,若对每一个确定的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意的b,m-n的最小值是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 23:01:10
已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)·(b-c)=0,若对每一个确定的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意的b,m-n的最小值是多少
已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)·(b-c)=0,若对每一个确定的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意的b,m-n的最小值是多少
已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)·(b-c)=0,若对每一个确定的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意的b,m-n的最小值是多少
|a-b|=|b|.a,b,c起点重合,则b的终端必在a的中垂线上,
（a-c)·(b-c)=0,c的终端必在以a,b终端连线为直径的圆上.显然m-n没有最大
值,经过仔细分析（过程有点麻烦）,最小值在|a|＝|b|时达到,为
（√3-1）/2≈0.366
|a-b|=|b|。a,b，c起点重合，则b的终端必在a的中垂线上，
（a-c)·(b-c)=0,c的终端必在以a,b终端连线为直径的圆上,
m=o到圆心距离加半径
n=o到圆心距离减半径
m-n=直径=|b|,所以最小值为1
法一：把
α
放入平面直角坐标系，使
α
起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则
α
=（1，0）
设
β
=（x1，y1），∵|
α
-
β
|=|
β
|，∴x1=
12
，∴
β
=（
12
，y1）
...
全部展开
法一：把
α
放入平面直角坐标系，使
α
起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则
α
=（1，0）
设
β
=（x1，y1），∵|
α
-
β
|=|
β
|，∴x1=
12
，∴
β
=（
12
，y1）
设
γ
=（x，y），则
α
-
γ
=（1-x，-y），
β
-
γ
=（
12
-x，y1-y）
∵（
α
-
γ
）•（
β
-
γ
）=0．∴（1-x）（
12
-x）-y（y1-y）=0
化简得，x2+y2-
32
x-y1y+
12
=0，也即 (x-
34
)2+(y-
y12
)2=
y12+142
点（x，y）可表示圆心在（
34
，
y12
），半径为
y12+142
的圆上的点，
|
γ
|=
x2+y2
，∴|
γ
|最大m=
(34)2+(y12)2
+
y12+142
，最小值n=
(34)2+(y12)2
-
y12+142
．
∴m-n=
(34)2+(y12)2
+
y12+142
-（
(34)2+(y12)2
-
y12+142
）=
y12+14
当y12=0时，m-n有最小值为
12
，
法二：∵|
α
|=1，
∴令
OA
=
α
则A必在单位圆上，
又∵又向量
β
满足 |
α
-
β
|=|
β
|，
∴令
OB
=
β
则点B必在线段OA的中垂线上，
OC
=
γ
．
又∵(
α
-
γ
)•(
β
-
γ
)=0
故C点在以线段AB为直径的圆M上，任取一点C，记
OC
=
γ
．
故m-n就是圆M的直径|AB|
显然，当点B在线段OA的中点时，（m-n）取最小值
12
即（m-n）min=
12
故选B．
收起