作业帮高等数学数列极限证明用数列极限的"ε-N"定义证明:1.若lim(n→∞)Xn=a,则lim(n→∞)3次√Xn=3次√a;2.lim(n→∞)（sin√(n+1)-sim√n)=03.设lim(n→∞)An=a,若a≠0,试用定义证明lim(n→∞)（An+1/An）=1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 21:44:59
高等数学数列极限证明用数列极限的"ε-N"定义证明:1.若lim(n→∞)Xn=a,则lim(n→∞)3次√Xn=3次√a;2.lim(n→∞)（sin√(n+1)-sim√n)=03.设lim(n→∞)An=a,若a≠0,试用定义证明lim(n→∞)（An+1/An）=1
高等数学数列极限证明
用数列极限的"ε-N"定义证明:
1.若lim(n→∞)Xn=a,则lim(n→∞)3次√Xn=3次√a;
2.lim(n→∞)（sin√(n+1)-sim√n)=0
3.设lim(n→∞)An=a,若a≠0,试用定义证明lim(n→∞)（An+1/An）=1
高等数学数列极限证明用数列极限的"ε-N"定义证明:1.若lim(n→∞)Xn=a,则lim(n→∞)3次√Xn=3次√a;2.lim(n→∞)（sin√(n+1)-sim√n)=03.设lim(n→∞)An=a,若a≠0,试用定义证明lim(n→∞)（An+1/An）=1
1 2 3的一些共同步骤就此省略,只写下思路：
1.基本原理：m的三次方-n的三次方=（m-n）(m²+mn+n²),其中m²+mn+n²=（m+1/2n）²+3/4n²≥3/4n²
因此|3次√Xn-3次√a|≤|Xn-a|/0.75（a的2/3次方）
2.sin√(n+1)-sim√n=2sinAcosB
其中A=1/2【√(n+1)-√n】 B=1/2【√(n+1)+√n】
所以|sin√(n+1)-sim√n|=2|sinAcosB|≤2|sinA|≤2|A|
=1/[√(n+1)+√n]≤1/√n
3.n足够大时候,||An|≥|a|/2
因此|An+1/An -1|≤ 2|An+1-An|/|a|
≤ 2[|An+1-a|+|An-a|]/|a|
只要使得|An-a|≤|a|ε/4
则|An+1-a|≤|a|ε/4,即可满足题意
这个是根据柯西准则证明的 N趋近于无穷大时和N+1是相等的
(1)2^n=(1+1)^n1+n+n(n-1)/2,
∴n/2^nn/[1+n+n(n-1)/2]ε,
εn2+(ε-2)n+2ε0,
n[2-ε+√(4-7ε2-4ε)]/(2ε),取N=[[2-ε+√(4-7ε2-4ε)]/(2ε)]+1,
对任意ε0,存在N=[[2-ε+√(4-7ε2-4ε)]/(2ε)]+1，当nN时
|n/2^n-0|ε,
∴lim(n/2^n)=0 .
好机会呼呼就会呼呼天天英国音乐斧头弹头色让他天天色当然无色人色他他电视直塞而是而是