作业帮已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,三角形ABC的三个顶点都在抛物线上,且三角形ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.求抛物线S的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/19 14:18:59
已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,三角形ABC的三个顶点都在抛物线上,且三角形ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.求抛物线S的方程.
已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,三角形ABC的三个顶点都在抛物线上,且三角形ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.求抛物线S的方程.
已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,三角形ABC的三个顶点都在抛物线上,且三角形ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.求抛物线S的方程.
设抛物线的方程为y^2=2px(p>0),则焦点为（p/2,0)
依题意可设A(y1^2/2p,y1),B(y2^2/2p,y2),C(y3^2/2p,y3),
由于B,C在直线4x+y-20=0上
所以将B,C代入得到联立方程
2y2^2/p+y2-20=0
2y3^2/p+y3-20=0
故将两式相减得y2+y3=-p/2,将两式相加得2（y2^2+y3^2)/p+y2+y3=40
即y2^2+y3^2=20p+p^2/4,
由于三角形的重心为抛物线的焦点,所以
y1+y2+y3=0
(y1^2+y2^2+y3^2)/2p=3p/2
故
y1=p/2
y1^2=11p^2/4-20p
因而p^2/4=11p^2/4-20p,解得p=8,
所以抛物线方程为y²=16x
也可以这样，在设方程时，你可以设抛物线的方程为y^2=2px，但不说明p的符号，可正可负，最后解到是8，即可 ,看懂了吗?
“题中哪些已知能说明开口向右而不是左” 先不管它向左还是向右，因为知道了焦点在x轴上，顶点在原点，则可设方程为y^2=2px，这是通用的方程。如果得出的p是正的，则向向右；如果得出p是负的，则向左。
有时候不管开口向上向下、向左向右，只要设置了通用方程，然后让所有的条件都满足了，得出的结果自然99%是正确的（题目综合条件注定了他的开口方向）。但是有的题目到最后算出来，还是用p来表示最后的...
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“题中哪些已知能说明开口向右而不是左” 先不管它向左还是向右，因为知道了焦点在x轴上，顶点在原点，则可设方程为y^2=2px，这是通用的方程。如果得出的p是正的，则向向右；如果得出p是负的，则向左。
有时候不管开口向上向下、向左向右，只要设置了通用方程，然后让所有的条件都满足了，得出的结果自然99%是正确的（题目综合条件注定了他的开口方向）。但是有的题目到最后算出来，还是用p来表示最后的x、y，这时候就要去分情况讨论，因为你不知道p是正的还是负的，通过讨论p来确定x、y，通过p来确定最后的方程。 这就是数学中经常出现“如果……则：……；如果……则：……”。
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来说把，如果向左，则BC线段与抛物线没有交点、