若不等式X²+aX+1≥0对于一切X∈（0,1/2）成立,则a的取值范围是?

若不等式X²+aX+1≥0对于一切X∈（0,1/2）成立,则a的取值范围是?
若不等式X²+aX+1≥0对于一切X∈（0,1/2）成立,则a的取值范围是?

若不等式X²+aX+1≥0对于一切X∈（0,1/2）成立,则a的取值范围是?
用图像法结合比较简单好理解,这个是一个开口向上对称轴为x=-a/2,所以
（1）如果有对称轴在Y轴左边即a>=0,则由单调性可以知道结论总是对的,（因为0点取值为1,而大于0的地方为单增的）;
（2）另外如果对称轴在（0,1/2）之间,即0

∵不等式x²+ax+1≥0
对任意实数x∈(0,1/2)恒成立。（此时x＞0)
∴该不等式两边同除以x,可得：
a+x+(1/x)≥0.
由“对勾函数”单调性可知，此时
x+(1/x)＞5/2.
∴a+x+(1/x)＞a+(5/2)≥0.
∴a≥-5/2.

分离变量
a≥-(X²+1)/X= - (1/X+X)
因为X∈（0，1/2）
所以 - (1/X+X)∈（负无穷,-5/2）
所以a≥-5/2= -2.5

f(x)=X²+aX+1=(x+a/2)^+1-a^2/4>=0
=>1-a^2/4>=0 时，无论x 为多少，不等式均成立 =>-2<=a<=2
a>2时，对于一切X∈（0，1/2）x^2+ax+1显然>0，所以a>2也可以。
当a<-2时，f'(x)=2x+a，X∈（0，1/2），f'(x)<0，f(x)是减函数，所以只要f(1/2)=1/4+a/2+1>=0...

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f(x)=X²+aX+1=(x+a/2)^+1-a^2/4>=0
=>1-a^2/4>=0 时，无论x 为多少，不等式均成立 =>-2<=a<=2
a>2时，对于一切X∈（0，1/2）x^2+ax+1显然>0，所以a>2也可以。
当a<-2时，f'(x)=2x+a，X∈（0，1/2），f'(x)<0，f(x)是减函数，所以只要f(1/2)=1/4+a/2+1>=0
=>a>=-2.5。=>-2.5<=a<2
所以，综合上面结果，a>=-2.5时，不等式X²+aX+1≥0对于一切X∈（0，1/2）成立。

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