x₁x₂x₃为方程x³-x+1=0的三个实数解,求x₁^5+x₂^5+x₃^5的值题目看得不是很明白,但是竞赛题,应该不会有错的

x₁x₂x₃为方程x³-x+1=0的三个实数解,求x₁^5+x₂^5+x₃^5的值题目看得不是很明白,但是竞赛题,应该不会有错的
x₁x₂x₃为方程x³-x+1=0的三个实数解,求x₁^5+x₂^5+x₃^5的值
题目看得不是很明白,但是竞赛题,应该不会有错的

x₁x₂x₃为方程x³-x+1=0的三个实数解,求x₁^5+x₂^5+x₃^5的值题目看得不是很明白,但是竞赛题,应该不会有错的
由(x-x1)(x-x2)(x-x3)=(x^2-(x1+x2)x+x1x2)(x-x3)
=x^3-(x1+x2)x^2+x1x2x-x^2x3+x3(x1+x2)x-x1x2x3
=x^3-(x1+x2+x3)x^2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3=0得
x1+x2+x3=0 x1x2+x2x3+x1x3=-1 x1x2x3=-1
(x1+x2+x3)^2=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3=0得x1^2+x2^2+x3^2=2
又x1^5=x1^5-x1^3+x1^2+x1^3-x1^2=x1^2(x1^3-x1+1)+(x^13-x1^2)=x1^3-x1^2=x1-x1^2-1
同理得x2^5=x2^3-x2^2=x2-x2^2-1 x3^5=x3^3-x3^2=x3-x3^2-1
所以
x1^5+x2^5+x3^5
=-3+(x1+x2+x3)-(x1^2+x2^2+x3^2)
=-3+0-2=-5

由韦达定理，有
x1+x2+x3=0
x1x2+x2x3+x1x3=-1
所以有(x1^2+x2^2+x3^2)=(x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x1x3+x2x3)=2
由根的性质，代入方程得：xi^3-xi+1=0
两边同时乘以xi^2,得：xi^5-xi^3+xi^2=0
两式相加得：xi^5+xi^2-xi+1=0
即xi^5...

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由韦达定理，有
x1+x2+x3=0
x1x2+x2x3+x1x3=-1
所以有(x1^2+x2^2+x3^2)=(x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x1x3+x2x3)=2
由根的性质，代入方程得：xi^3-xi+1=0
两边同时乘以xi^2,得：xi^5-xi^3+xi^2=0
两式相加得：xi^5+xi^2-xi+1=0
即xi^5=-xi^2+xi-1
所以有：x1^5+x2^5+x3^5=-(x1^2+x2^2+x3^2)+(x1+x2+x3)-3=-2-3=-5

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