作业帮已知数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2(t>0,n≥2),且a1=0,n≥2时,an>0.其中Sn是数列an的前n项和.已知数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2（t＞0,n≥2）,且a1=0,n≥2时,an＞0．其中Sn是数列an的前n项和．（I）求数列{an}的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 08:58:18
已知数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2(t>0,n≥2),且a1=0,n≥2时,an>0.其中Sn是数列an的前n项和.已知数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2（t＞0,n≥2）,且a1=0,n≥2时,an＞0．其中Sn是数列an的前n项和．（I）求数列{an}的通项公式
已知数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2(t>0,n≥2),且a1=0,n≥2时,an>0.其中Sn是数列an的前n项和.
已知数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2（t＞0,n≥2）,且a1=0,n≥2时,an＞0．其中Sn是数列an的前n项和．
（I）求数列{an}的通项公式；
（III）若对于n≥2,n∈N*,不等式a2a3分之1 +a3a4分之1 +…+ anan+1 ＜2恒成立,求t的取值范围．
已知数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2(t>0,n≥2),且a1=0,n≥2时,an>0.其中Sn是数列an的前n项和.已知数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2（t＞0,n≥2）,且a1=0,n≥2时,an＞0．其中Sn是数列an的前n项和．（I）求数列{an}的通项公式
a1=0又an＞0这不对吧,应该是当n≥2时an>0
因为Sn+S(n-1)=t(an)^2 +2
所以S(n-1)+S(n-2)=t[a(n-1)]^2 +2
两式相减得：
an+a(n-1)=t(An^2-An-1^2)
1=t(an-a(n-1))
所以an-a(n-1)=1/t
即数列{an}是等差数列.首项是a1=0 ,公差是1/t
an=0+（n-1)/t=（n-1)/t
于是1/(ana(n+1)) = t^2/(n(n-1))=t^2(1/(n-1)-1/n)
设Tn=1/(a2a3)+1/(a3a4)+.+1/(ana(n+1))=t^2[(1-1/2)+(1/2-1/3)+.+(1/(n-1)-1/n)]
=t^2(1-1/n)
于是Tn= t^2(1-1/n)
要使Tn<2
即t^2(1-1/n)<2
t^2<2/(1-1/n)
由于数列{2/(1-1/n)}是
Tn是递减数列,{2/(1-1/n)}最大值是在n=2时取得的,n=2时{2/(1-1/n)}=4
所以t^2≤4
即t≤2
又an>0,所以t>0
于是0＜t≤2
（Ⅰ）依题意，﹛ n+Sn-1=ta²n；(﹛Sn≥2) ①
﹛Sn-1+Sn-2=ta²n-1 ②
①-②得an+an-1=t（an²-an-1²）（n≥3）
由已知an+an-1≠0，故an-an-1=1（n≥3）
由a1=0，S2+S1=ta2²，得...
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（Ⅰ）依题意，﹛ n+Sn-1=ta²n；(﹛Sn≥2) ①
﹛Sn-1+Sn-2=ta²n-1 ②
①-②得an+an-1=t（an²-an-1²）（n≥3）
由已知an+an-1≠0，故an-an-1=1（n≥3）
由a1=0，S2+S1=ta2²，得a2=ta2²
∴a2=0（舍）或a2=1/t
即数列{an}从第二项开始是首项为1/t，公差为1的等差数列
所以an=n-1/t（n≥2），又当n=1时，a1=1-1/t=0
所以an=n-1/t（n∈N﹡）
（Ⅲ）设Tn=1/a2a3+1/a3a4+...+1/anan+1
=t²/1×2+t²/2×3+t²/3×4+…+t²/(n-1)×n
=t²（1-1/n ）
要使Tn＜2，对于n≥2，n∈N*恒成立，只要Tn=t²（1-1/n）＜t²≤2成立，所以0＜t≤√2
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