作业帮Sn=n^2an（n≥2）,a1=1,求通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 08:44:23
Sn=n^2an（n≥2）,a1=1,求通项公式
Sn=n^2an（n≥2）,a1=1,求通项公式
Sn=n^2an（n≥2）,a1=1,求通项公式
亲,您要的过程,
S2=a1+a2=1+a2=2²×a2
3a2=1
a2=1/3
S3=a1+a2+a3=1+1/3+a3=3²×a3
8a3=4/3
a3=1/6
a1=1=2/[1×(1+1)] a2=1/3=2/[2×(2+1)] 3=1/6=2/[3×(3+1)]
猜想：an=2/[n(n+1)]
证：
n≥2时,
Sn=n²×an S(n-1)=(n-1)²×a(n-1)
Sn-S(n-1)=an=n²×an-(n-1)²×an
(n²-1)an=(n-1)²×a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…………
a2/a1=1/3
连乘
an/a1=(1/3)(2/4)...[(n-1)/(n+1)]=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]=2/[n(n+1)],
n=1时,a1=2/(1×2)=1,同样满足.
an=2/[n(n+1)],猜想正确.
有什么不懂的请追问,我会为您详细解答,
Sn=n^2an（n≥2），
Sn-1=n^2an-1（n≥3），
相减得
an=n^2an-(n-1)^2an-1（n≥3），
整理an/an-1=(n-1）/（n+1）（n≥3），又因为a2=1/3,a1=1所以
an/an-1=(n-1）/（n+1）（n≥2）
由叠乘法得an/a1=2/n(n+1)所以an=2/n(n+1)（n≥2），
全部展开
Sn=n^2an（n≥2），
Sn-1=n^2an-1（n≥3），
相减得
an=n^2an-(n-1)^2an-1（n≥3），
整理an/an-1=(n-1）/（n+1）（n≥3），又因为a2=1/3,a1=1所以
an/an-1=(n-1）/（n+1）（n≥2）
由叠乘法得an/a1=2/n(n+1)所以an=2/n(n+1)（n≥2），
当n=1时a1=1不满足上式
所以an= 1，n=1
2/n(n+1)（n≥2），
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