对于定义域为[0,1]的函数f（x）,如果同时满足一下三条：1.对任意的x∈[0,1],总有f（x）>=0；2.f（1）=1；3.若x1>=0,x2>=0,x1+x2=f(x1）+（x2)成立,则称函数f（x）为理想函数.（1）若函数f（x）为理想函

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 05:50:02

对于定义域为[0,1]的函数f（x）,如果同时满足一下三条：1.对任意的x∈[0,1],总有f（x）>=0；2.f（1）=1；3.若x1>=0,x2>=0,x1+x2=f(x1）+（x2)成立,则称函数f（x）为理想函数.（1）若函数f（x）为理想函
对于定义域为[0,1]的函数f（x）,如果同时满足一下三条：1.对任意的x∈[0,1],总有f（x）>=0；2.f（1）=1；3.若x1>=0,x2>=0,x1+x2=f(x1）+（x2)成立,则称函数f（x）为理想函数.
（1）若函数f（x）为理想函数,求f（0）的值
（2）判断函数g(x)=2^x-1(x∈[0,1]）是否为理想函数,并予以证明.
（3）若函数f（x）为理想函数,假定x0∈[0,1],使得f（x0）∈[0,1],且f（f（x0））=x0,求证f（x0）=x0

对于定义域为[0,1]的函数f（x）,如果同时满足一下三条：1.对任意的x∈[0,1],总有f（x）>=0；2.f（1）=1；3.若x1>=0,x2>=0,x1+x2=f(x1）+（x2)成立,则称函数f（x）为理想函数.（1）若函数f（x）为理想函
(1) 取x1=x2=0,得f(0)>=f(0)+f(0) ==>f(0)=0,故f(0)=0
(2)对g(x),g(1/2)=1/4-1=f[f(x0)]+f(x1)=x0+f(x1)>=x0
此时f(x0)>=x0矛盾!
(b) f(x0)>x0,设f(x0)=x0+x1(x1>0)
则x0=f[f(x0)]=f(x0+x1)>=f(x0)+f(x1)>=f(x0)
则x0>=f(x0)矛盾!
故假设不成立

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（1）令x1=x2=0，则有f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，即f（0）≥0，故f（0）=0；
（2）g（x）是理想函数！证明如下：
①对任意的x∈[0,1]，总有g(x)≥0；
②g（1）=2-1=1；
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1，则：
f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=（2^x1-1）（2^x2-1）≥0，即：
f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立
故g（x）为理想函数！
（3）若f为理想函数，由原条件①③得到：f为增函数！
假设f(x0)≠x0,不妨设f（x0）＞x0，则：
f（f（x0））＞f（x0）＞x0，矛盾！
当f（x0）＞x0时，同样得出矛盾！
故：对题设的x0，有f(x0)=x0

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