已知{an}是等比数列,p,q,m,n属于N+,已知p+q=m+n,证明an乘am=ap乘aq

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/19 17:05:10
已知{an}是等比数列,p,q,m,n属于N+,已知p+q=m+n,证明an乘am=ap乘aq

已知{an}是等比数列,p,q,m,n属于N+,已知p+q=m+n,证明an乘am=ap乘aq
已知{an}是等比数列,p,q,m,n属于N+,已知p+q=m+n,证明an乘am=ap乘aq

已知{an}是等比数列,p,q,m,n属于N+,已知p+q=m+n,证明an乘am=ap乘aq
证:设公比Q,首项a1
通项an=a1*Q^(n-1)
an×am=a1*Q^(n-1)×a1*Q^(m-1)=(a1)^2×Q^(m+n-2) [^后面的式子表示多少次幂]
同理:ap×aq=a1*Q^(p-1)×a1*Q^(q-1)=(a1)^2×Q^(p+q-2)
由于p+q=m+n
∴an×am=ap×aq

证明(an*am)/(ap*aq)=1,设公比为d,
(an*am)/(ap*aq)=(d^(n+m-2)/d^(p+q-2))
∵m+n=p+q∴原式=d^(m+n-p-q)=d^0=1
即an*am=ap*aq

am*an=a1*q^(m-1)*a1*q^(n-1)=a1^2*q^(m-1+n-1)=a1^2*q^(p+q-2)=ap*aq