已知x,y∈R,a,b＞0,且a+b=1.求证（ax+by)(ay+bx)≥xy

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 04:01:24

已知x,y∈R,a,b＞0,且a+b=1.求证（ax+by)(ay+bx)≥xy
已知x,y∈R,a,b＞0,且a+b=1.求证（ax+by)(ay+bx)≥xy

已知x,y∈R,a,b＞0,且a+b=1.求证（ax+by)(ay+bx)≥xy
x+y>=2根号xy
因为（a+b）=1
所以两边同时乘以（a+b）即(x+y)(a+b)=(x+y)>=2根号xy
（x+y)(a+b)>=2根号xy【注乘以1跟没乘一样】
整理得（ax+by+ay+bx)>=2根号xy
根据不等式定理得
(ax+by+ay+bx)>=2根号下（ax+by)(ay+bx)>=2根号下xy
把根号都脱了就是（ax+by)(ay+bx)≥xy

证明:
(ax+by)(ay+bx)-xy
=xya^2+abx^2+aby^2+xyb^2-xy
=xy(a^2+2ab+b^2)-2abxy+abx^2+aby^2-xy
=xy(a+b)^2+ab(x^2-2xy+y^2)-xy 因为a+b=1
=xy+ab(x-y)^2-xy
=ab(x-y)^2 又因为:abxy都是正实数
则ab(x-y)^2>=0
即(ax+by)(ay+bx)-xy>=0
也就是(ax+by)(ay+bx)>=xy

这道题目你可以用综合法，说来惭愧我也是刚刚翻了下数学4-5不等式选修-.-

原式右边化解可得a²XY+abX²+abY²+b²XY
整理可得XY(a²+b²）+ab（X²+Y²）
又因为XY(a²+b²）>=2abXY...

全部展开

这道题目你可以用综合法，说来惭愧我也是刚刚翻了下数学4-5不等式选修-.-

原式右边化解可得a²XY+abX²+abY²+b²XY
整理可得XY(a²+b²）+ab（X²+Y²）
又因为XY(a²+b²）>=2abXY ............(1)
ab（X²+Y²）>=2abXY ...........(2)
由(1）+(2)可得XY(a²+b²）+ab（X²+Y²））>=4abXY
又因为a,b＞0,且a+b=1.
a+b>=2根号ab
所以ab<=1/4
所以 XY(a²+b²）+ab（X²+Y²））>=4abXY =XY
所以原式成立

收起

已知x、y、a、b∈R+,a+b=10,且a/x+b/y=1,x+y的最小值为18,求a,b. 1.已知集合a=(x,y)/x,y∈R 且x2+y2=1 已知集合a=(x,y)/x,y∈R,且x1.已知集合a=(x,y)/x,y∈R 且x2+y2=1已知集合a=(x,y)/x,y∈R,且x2+y2=1 B=（x,y）/x,y∈R,且y=x则A∩B的元素个数为已知a,b∈R+,且x+y=1,求证:xy≤1/4 已知x,y,a,b∈R,t,m>0,且|x-a| 已知a、b、x、y属于R+且1/a＞1/b,x＞y求证：x／（x+a）＞y/(y+b) 已知集合A={y|y=x^2-2x-1,x∈R},B=y|y=x+1/x,x∈R且x不等于0}则（CRB）∩A= 不等式的一道题目已知a,b,x,y∈R＋且a/x+b/y=1,求x+y的最小值已知x,y,a,b∈R,且a/x+b/y=1,求x+y的最小值说错了这些数都是正实数。已知集合A=｛y|y=2^|x| -1,x∈R},集合B=｛y|y=√-x²+2x+3 ,x∈R},则集合｛x|x∈A且x不属于B｝= 已知a,b,x,y∈R,且a+2b+6=0,x+2y=1,求证(a+x)^2+(b+y)^2>=5没人答么.. 已知集合A={x|x=|a|/a+|b|/b,ab≠0,a∈R,b∈R}若B={x|mx-1=0,m∈R}且B包含于A求m 已知集合a=(x,y)/x,y∈R 且x2+y2=1已知集合a=(x,y)/x,y∈R,且x2+y2=1 B=（x,y）/x,y∈R,且y=x则A∩B的元素个数为抱歉没有悬赏了~ 已知A={(x,y)|x^2+y^2=9},B={(x,y)|(x-r)^2+(y-2r)^2=r^2,r>0},A交B有且只有一个元素,求r. 已知x,y∈R,a,b＞0,且a+b=1.求证（ax+by)(ay+bx)≥xy 已知a>0,b>0,且a+b=1,x,y∈R,求证:ax^2+by^2≥(ax+by)^2 已知a大于0 b大于0 且a+b=1 且x y 属于R 证ax^2+by^2大于等于(ax+by)^2 已知a大于0 b大于0 且a+b 已知a,b,x,y∈R,且a^2+b^2=1 ,x^2+y^2=1求证ax+by<1 已知a、b、x、y∈R,且a^2+b^2=1,x^2+y^2=1,求证:ax+by